Taylor公式-多项函数展开

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泰勒说：一个函数如果在一点很光滑，也就是说多少阶都可导，那这个一点附近的值就可以用这个点的值和一系列导数值表示。

下面看一下展开式：

  1. 一元函数在点xk处的泰勒展开式为： 

    1
    f(x)=f(xk)+(x−xk)f′(xk)+12!(x−xk)2f′′(xk)+On

  2. 二元函数在点(xk,yk)处的泰勒展开式为：

    1
    f(x,y)=f(xk,yk)+(x−xk)f′x(xk,yk)+(y−yk)f′y(xk,yk)+12!(x−xk)2f′′xx(xk,yk)+12!(x−xk)(y−yk)f′′xy(xk,yk)+12!(x−xk)(y−yk)f′′yx(xk,yk)+12!(y−yk)2f′′yy(xk,yk)+On

  3. 多元函数(n)在点xk处的泰勒展开式为:

    1
    f(x1,x2,…,xn)=f(x1k,x2k,…,xnk)+∑i=1n(xi−xik)f′xi(x1k,x2k,…,xnk)+12!∑i,j=1n(xi−xik)(xj−xjk)f′′ij(x1k,x2k,…,xnk)+On
  • 把Taylor展开式写成矩阵的形式：
    1
    f(x)=f(xk)+[∇f(xk)]T(x−xk)+12![x−xk]TH(xk)[x−xk]+On

其中：
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